سع عبارت x+10 وx+4 و x+1سع جملع یک دنبالع هندسی هستند سع جملع را مشخص کنید

برای بررسی اینکه آیا عبارات \( x+10 \)، \( x+4 \) و \( x+1 \) یک دنباله‌ی هندسی تشکیل می‌دهند یا خیر، باید نسبت دو جمله‌ی متوالی را با هم مقایسه کنیم. یک دنباله‌ی هندسی زمانی تشکیل می‌شود که نسبت هر دو جملهٔ متوالی ثابت باشد. به عبارت دیگر، اگر \( a_1 = x+10 \)، \( a_2 = x+4 \) و \( a_3 = x+1 \) باشد، باید شرایط زیر برقرار باشد: \[ \frac{a_2}{a_1} = \frac{a_3}{a_2} \] این نسبت‌ها را محاسبه می‌کنیم: 1. نسبت اول: \[ \frac{a_2}{a_1} = \frac{x+4}{x+10} \] 2. نسبت دوم: \[ \frac{a_3}{a_2} = \frac{x+1}{x+4} \] حالا باید این دو نسبت را برابر قرار دهیم: \[ \frac{x+4}{x+10} = \frac{x+1}{x+4} \] حالا به حل این معادله می‌پردازیم. ابتدا متقارن‌سازی را با ضرب متناظر دو طرف معادله آغاز می‌کنیم: \[ (x+4)^2 = (x+10)(x+1) \] اکنون دو طرف معادله را محاسبه می‌کنیم: چپ: \[ (x+4)^2 = x^2 + 8x + 16 \] راست: \[ (x+10)(x+1) = x^2 + 11x + 10 \] حالا معادله را این‌گونه خواهیم نوشت: \[ x^2 + 8x + 16 = x^2 + 11x + 10 \] با کم کردن \( x^2 \) از دو طرف معادله، به معادله زیر می‌رسیم: \[ 8x + 16 = 11x + 10 \] اکنون \( 11x \) را از دو طرف کم می‌کنیم: \[ 8x - 11x + 16 = 10 \] سپس محاسبه را ساده می‌کنیم: \[ -3x + 16 = 10 \] اکنون \( 16 \) را از دو طرف کم می‌کنیم: \[ -3x = 10 - 16 \] \[ -3x = -6 \] در نهایت، \( x \) را حل می‌کنیم: \[ x = 2 \] حالا که مقدار \( x \) را به دست آوردیم، می‌توانیم اعداد دنباله را پیدا کنیم: 1. \( a_1 = 2 + 10 = 12 \) 2. \( a_2 = 2 + 4 = 6 \) 3. \( a_3 = 2 + 1 = 3 \) بنابراین دنباله به شکل \( 12, 6, 3 \) می‌باشد که نسبت‌های آن به صورت زیر است: \[ \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \quad \text{و} \quad \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \] از این رو، از آنجایی که نسبت‌ها برابرند، نتیجه می‌گیریم که عبارات \( x+10 \)، \( x+4 \) و \( x+1 \) یک دنباله‌ی هندسی می‌باشند.